균형의 개선: 내쉬 균형과 그 한계

목차

 

 

내쉬 균형은 게임 이론에서 매우 중요한 개념이지만, 일부 경우에는 내쉬 균형이 직관적으로 적절하지 않거나 문제가 발생할 수 있습니다. 이 글에서는 내쉬 균형의 한계를 보완하기 위한 두 가지 개선된 균형 개념을 소개하겠습니다. 떨리는 손 완전 균형(Trembling Hand Perfect Equilibrium)과 부분 게임 완전 균형(Subgame Perfect Equilibrium)이 그것입니다. 이 두 개념은 게임 이론에서 보다 신뢰할 수 있는 전략적 선택을 보장하는데 중요한 역할을 합니다.

 

내쉬 균형의 한계

내쉬 균형은 모든 플레이어가 상대방의 전략에 대해 최선을 다하는 전략적 상태를 말합니다. 즉, 어느 누구도 자신의 전략을 변경함으로써 이득을 얻을 수 없는 상태입니다. 그러나 내쉬 균형이 있다고 해서 그 균형이 항상 합리적이거나 직관적으로 적절한 것은 아닙니다. 예를 들어, 특정 게임에서 내쉬 균형이 존재하지만, 그 균형이 실제로는 비합리적인 선택을 요구하는 경우가 있습니다.

예시: 내쉬 균형의 문제점

 

표에서 나타난 게임을 살펴보면, 두 가지 내쉬 균형이 존재합니다: <U, L>과 <D, R>. 여기서 플레이어 I이 U를 선택하고 플레이어 II가 L을 선택하면 <U, L>은 내쉬 균형이 됩니다. 이 균형에서는 두 플레이어 모두 더 나은 선택을 할 수 없기 때문에 균형 상태가 유지됩니다.

그러나 <D, R>도 내쉬 균형으로 나타납니다. 이 경우, 플레이어 I이 D를 선택하고, 플레이어 II가 R을 선택하면 각각의 플레이어가 다른 선택을 할 유인이 없기 때문에 균형이 유지됩니다. 하지만 이 균형은 직관적으로 합리적이지 않습니다. 왜냐하면 플레이어 I이 U를 선택하는 것이 D를 선택하는 것보다 더 나은 결과를 제공함에도 불구하고, 이 전략을 따르지 않기 때문입니다.

이처럼 내쉬 균형 중에는 비합리적으로 보이는 경우도 있습니다. 이를 해결하기 위해 떨리는 손 완전 균형(Trembling Hand Perfect Equilibrium)이라는 개념이 도입되었습니다.

 

떨리는 손 완전 균형

떨리는 손 완전 균형은 게임 이론에서 내쉬 균형을 강화한 개념으로, 플레이어들이 작은 실수를 저지르더라도 여전히 최선의 전략을 유지하는 균형입니다. 이 개념은 사람들이 때로는 실수로 잘못된 전략을 선택할 수 있다는 가능성을 고려하여 설계되었습니다. 즉, 아주 작은 확률로 플레이어가 떨림으로 인해 실수를 한다고 가정하고, 그 상황에서도 최적의 반응을 유지하는 전략이 바로 떨리는 손 완전 균형입니다.

 

정의: 떨리는 손 완전 균형

떨리는 손 완전 균형은 다른 플레이어들이 실수를 하더라도 자신에게 최선의 전략을 유지하는 내쉬 균형을 말합니다. 예를 들어, 플레이어들이 실수로 자신의 전략에서 벗어날 가능성이 아주 작더라도, 이때에도 최적의 반응을 유지하는 전략이 떨리는 손 완전 균형에 해당합니다.

 

예시: 떨리는 손 완전 균형

다시 표의 게임으로 돌아가서, <U, L>은 떨리는 손 완전 균형입니다. 플레이어 II가 R을 플레이할 매우 작은 확률이 있다고 가정하더라도, 플레이어 I은 여전히 U를 선택하는 것이 최선의 전략이 됩니다. 마찬가지로, 플레이어 I이 D를 플레이할 작은 확률이 존재하더라도, 플레이어 II는 L을 선택하는 것이 최선입니다.

그러나 <D, R>은 떨리는 손 완전 균형이 아닙니다. 왜냐하면 플레이어 II가 L을 선택할 확률이 아주 작더라도, 플레이어 I은 D 대신 U를 선택하는 것이 더 나은 선택이기 때문입니다.

이처럼 떨리는 손 완전 균형은 내쉬 균형을 보완하여 보다 직관적으로 합리적인 선택을 보장해 줍니다.

 

부분 게임 완전 균형

부분 게임 완전 균형(Subgame Perfect Equilibrium)은 여러 단계로 이루어진 게임에서 내쉬 균형의 한계를 보완하기 위해 고안된 개념입니다. 순차적으로 이루어지는 게임에서는 한 플레이어가 특정 행동을 할 때 상대방의 반응을 예상해야 하는데, 이때 내쉬 균형이 적절하지 않을 수 있습니다. 부분 게임 완전 균형은 모든 하위 게임(subgame)에서 내쉬 균형을 이루는 전략을 의미합니다.

 

정의: 부분 게임 완전 균형

부분 게임 완전 균형이란 게임의 모든 하위 게임에서도 내쉬 균형을 이루는 전략입니다. 즉, 게임이 여러 단계로 나누어져 있을 때, 각 단계에서도 합리적인 전략이 유지되는 균형 상태를 의미합니다.

 

예시: 부분 게임 완전 균형

예 10.22의 게임을 살펴보면, 첫 번째 단계에서 플레이어 I은 U 또는 D를 선택할 수 있고, 두 번째 단계에서는 플레이어 II가 L 또는 R을 선택할 수 있습니다. 이때, <U, L>과 <D, R>은 내쉬 균형입니다.

그러나 플레이어 II가 R을 선택하는 위협은 신뢰할 수 없는 위협입니다. 왜냐하면 플레이어 I이 U를 선택했을 때, 플레이어 II는 L을 선택하는 것이 더 나은 선택이기 때문입니다. 따라서 플레이어 II가 R을 선택할 것이라는 위협은 실제로는 신뢰할 수 없습니다. 이처럼 신뢰할 수 없는 위협은 부분 게임 완전 균형에서 제거됩니다.

부분 게임 완전 균형을 찾기 위해서는 역진귀납법(Backward Induction)을 사용합니다. 즉, 게임의 마지막 단계에서부터 거꾸로 전략을 계산하여 최선의 선택을 찾는 방식입니다.

 

예시: 상호확증파괴(MAD)와 부분 게임 완전 균형

상호확증파괴(MAD)는 두 강대국이 적의 공격을 받으면 서로를 파괴하겠다고 위협하는 군사 교리입니다. 이 게임에서 미국이 먼저 공격할지 말지를 결정하고, 소련은 이에 대응해 보복할지 말지를 결정합니다. 여기서 <D, R>은 내쉬 균형이지만, 소련이 보복하지 않으면 더 큰 이익을 얻을 수 있기 때문에, 이 위협은 신뢰할 수 없는 위협입니다.

따라서 부분 게임 완전 균형을 통해 이 위협이 제거되며, 게임의 결과는 보다 신뢰할 수 있는 균형으로 이어집니다.

 

결론

게임 이론에서 내쉬 균형은 중요한 개념이지만, 일부 상황에서는 이 균형이 직관적으로 합리적이지 않을 수 있습니다. 이를 보완하기 위해 도입된 떨리는 손 완전 균형과 부분 게임 완전 균형은 게임의 복잡한 상황에서도 합리적이고 신뢰할 수 있는 전략을 보장해 줍니다.

• 떨리는 손 완전 균형은 플레이어들이 실수를 하더라도 최선의 전략을 유지하는 균형입니다.
• 부분 게임 완전 균형은 여러 단계로 이루어진 게임에서 각 단계에서 내쉬 균형을 이루는 전략을 의미합니다.

이 두 개념은 내쉬 균형의 한계를 보완하고, 더 직관적이고 신뢰할 수 있는 결과를 도출하는 데 중요한 역할을 합니다.